Odkryj różnorodne bezpłatne arkusze do odejmowania dwucyfrowego i przegrupowania do wydrukowania, idealne do doskonalenia umiejętności matematycznych uczniów. Zapoznaj się z naszą obszerną kolekcją, która pomoże im w nauce. Odejmowanie liczb dwucyfrowych z przegrupowaniem. TEST_Mirocice_kl.IV. Wszystkich liczb dwucyfrowych jest 90. Zatem omega jest równa 90. Niech A oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, której suma cyfr jest równa 6. Zdarzenia sprzyjające A to 15,24,33,42,51,60 Zatem moc A wynosi 6. Zatem: P(A)=6/90=1/15 Zadanie 33. (4pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Dziękuję :) Ile jest liczb dwucyfrowych Natychmiastowa odpowiedź na Twoje pytanie. liczby dwucyfryowe są od 10 do 99. Inaczj mówiąć wszytkie z przedziału<1,100> oprócz Vay Nhanh Fast Money. adam93 Użytkownik Posty: 11 Rejestracja: 18 gru 2010, o 14:32 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 1 raz Liczby spełniające podane warunki Pewna liczba dwucyfrowa nie dzieli się przez 4. Gdy dopiszemy do niej cyfrę 4 jako cyfrę jedności, to liczba trzycyfrowa będzie podzielna przez 12. Ile jest liczb dwucyfrowych, które spełniają te warunki? Althorion Użytkownik Posty: 4541 Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 9 razy Pomógł: 662 razy Liczby spełniające podane warunki Post autor: Althorion » 18 gru 2010, o 15:44 Podpowiedź 1.: Najpierw zanalizuj, ile liczb dwucyfrowych jest niepodzielnych przez cztery, a potem - ile z nich po dopisaniu cyfry cztery będzie podzielnych przez dwanaście. Podpowiedź 2.: Liczby podzielne przez dwanaście to te podzielne przez trzy i cztery na raz. adam93 Użytkownik Posty: 11 Rejestracja: 18 gru 2010, o 14:32 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 1 raz Liczby spełniające podane warunki Post autor: adam93 » 18 gru 2010, o 18:05 Wychodzi, że jest 8 liczb które spełniają te warunki. Ale nie jestem pewien, czy dobrze zrozumiałem. Mam wypisać wszystkie liczby dwucyfrowe, a następnie wykreślać te, które nie spełniają podanych warunków? Wydaję mi się, że jest to trochę mało "matematyczna" metoda Althorion Użytkownik Posty: 4541 Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 9 razy Pomógł: 662 razy Liczby spełniające podane warunki Post autor: Althorion » 18 gru 2010, o 18:22 Jest to metoda jednak skuteczna. Ale po co z niej korzystać, jak można prościej: Podpowiedź 2.: Liczby podzielne przez dwanaście to te podzielne przez trzy i cztery na raz.[/quote Czyli suma ich cyfr musi być podzielna przez trzy oraz liczba ułożona z dwóch ostatnich cyfr musi być podzielna przez cztery. Z tego drugiego warunku wiemy, że liczba ta musi się kończyć na \(\displaystyle{ 24}\), \(\displaystyle{ 44}\), \(\displaystyle{ 64}\) lub \(\displaystyle{ 84}\). I teraz rozważmy kolejno wszystkie przypadki: a) \(\displaystyle{ 24}\): Żeby liczba była trzycyfrowa i podzielna przez trzy, na pierwszym miejscu może stanąć tylko \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ 6}\) lub \(\displaystyle{ 9}\). b) \(\displaystyle{ 44}\): Jw., tyle że \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 7}\) c) \(\displaystyle{ 64}\) Jw., tyle że \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ 5}\) lub \(\displaystyle{ 8}\) d) \(\displaystyle{ 84}\) Tak jak w a) Łącznie mamy 12 takich liczb: \(\displaystyle{ 32, 62, 92, 14, 44, 74, 26, 56, 86, 38, 68, 98}\) Z nich wypisać te niepodzielne przez cztery - i gotowe. Przy czym podkreślę jeszcze raz, metoda z wypisywaniem wszystkich jest jak najbardziej poprawna. adam93 Użytkownik Posty: 11 Rejestracja: 18 gru 2010, o 14:32 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Podziękował: 1 raz Liczby spełniające podane warunki Post autor: adam93 » 18 gru 2010, o 19:57 Ok, dzięki za pomoc. Dodam tylko, że liczba może się kończyć jeszcze na 04, więc mamy 15 a nie 12 liczb (dochodzi 20, 50, 80) a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć kolejnych zagadnień omawianych podczas lekcji i wykonywać prostych zadań nawiązujących do sytuacji z życia codziennego. Uczeń: • odczytuje i zapisuje słownie liczby zapisane cyframi i odwrotnie, • odczytuje współrzędne punktów zaznaczonych na osi liczbowej, • dodaje i odejmuje liczby naturalne w zakresie do 200, • mnoży i dzieli liczby naturalne w zakresie do 100, • zapisuje liczby za pomocą cyfr rzymskich (w zakresie do 39), • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych, • oblicza drugie i trzecie potęgi liczb naturalnych jedno- i dwucyfrowych, • zna i stosuje właściwą kolejność działań w wyrażeniach dwudziałaniowych, • dodaje i odejmuje pisemnie liczby trzy- i czterocyfrowe, • sprawdza wynik odejmowania przez dodawanie, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania pisemnego, • mnoży pisemnie liczby dwu- i trzycyfrowe, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem mnożenia pisemnego, • wykonuje dzielenie z resztą (proste przykłady), • zna i stosuje cechy podzielności przez 2, 5 i 10, • dzieli pisemnie liczby wielocyfrowe przez liczby jednocyfrowe, • zna, rysuje i oznacza prostą, półprostą i odcinek, • rozróżnia wzajemne położenie dwóch prostych i odcinków na płaszczyźnie, • wskazuje, w prostych przykładach, odcinki prostopadłe i równoległe w figurach płaskich, • rozwiązuje elementarne zadania dotyczące prostych, półprostych, odcinków i punktów, • rysuje koła i okręgi, • wskazuje i nazywa elementy koła i okręgu: środek, promień, średnicę, cięciwę, łuk, • rozpoznaje, wskazuje, rysuje i mierzy kąty ostre, proste i rozwarte, • posługuje się kątomierzem do mierzenia kątów wypukłych, • podaje przykłady figur płaskich, • wskazuje i nazywa elementy wielokątów: boki, wierzchołki, przekątne, kąty wewnętrzne, • rozpoznaje trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny, • zna twierdzenie o sumie kątów w trójkącie, 41 • rozpoznaje trójkąt równoboczny, równoramienny i różnoboczny, • oblicza długości boków trójkąta równobocznego przy danym obwodzie, • rozpoznaje odcinki, które są wysokościami w trójkącie, • wskazuje wierzchołek, z którego poprowadzona jest wysokość, i bok, do którego jest ona prostopadła, • rysuje za pomocą ekierki wysokości w trójkącie ostrokątnym, • wskazuje boki prostopadłe, boki równoległe i przekątne w prostokątach i równoległobokach, • oblicza obwody czworokątów, • rozpoznaje i rysuje wysokości równoległoboku, trapezu, • wskazuje trapezy wśród innych figur, • rysuje trapezy przy danych długościach podstaw, • wybiera spośród podanych figur te, które mają oś symetrii, • zapisuje ułamek w postaci dzielenia, • zamienia liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i ułamki niewłaściwe na liczby mieszane, • porównuje ułamki o tym samym mianowniku, • rozszerza ułamki do wskazanego mianownika, • skraca ułamki w prostych wypadkach, • dodaje i odejmuje ułamki lub liczby mieszane o jednakowych mianownikach, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o jednakowych mianownikach, • w prostych przykładach dodaje i odejmuje ułamki ze sprowadzeniem ich do wspólnego mianownika, • mnoży ułamek lub liczbę mieszaną przez liczbę naturalną z wykorzystaniem skracania, • mnoży ułamki z wykorzystaniem skracania, • znajduje odwrotności ułamków, liczb naturalnych i liczb mieszanych, • dzieli ułamki z wykorzystaniem skracania, • zapisuje ułamek dziesiętny w postaci ułamka zwykłego, • zamienia ułamek zwykły na dziesiętny przez rozszerzanie ułamka, • odczytuje i zapisuje słownie ułamki dziesiętne, • w prostych wypadkach zapisuje cyframi ułamki dziesiętne zapisane słownie, • dodaje i odejmuje ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe dotyczące dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych, • mnoży i dzieli w pamięci ułamki dziesiętne przez 10, 100, 1000, • mnoży pisemnie ułamki dziesiętne, • dzieli pisemnie ułamki dziesiętne przez jednocyfrową liczbę naturalną, • potrafi posługiwać się kalkulatorem (bez wykorzystywania funkcji pamięci), • zamienia jednostki czasu (godziny na minuty, minuty na sekundy, kwadranse na minuty, godziny na kwadranse), • zna podstawowe jednostki masy, monetarne (polskie) i długości, • zamienia mniejsze jednostki na większe, • oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb naturalnych, • odczytuje dane z tabeli, • zamienia procenty na ułamki, 42 • określa, czy zamalowano 25%, 50%, 75%, 100% figury, • oblicza pozostałą część jako procent całości, • odczytuje dane z diagramów w prostych wypadkach, • oblicza pole prostokąta jako iloczyn długości boków, • zna i stosuje wzór na obliczanie pola równoległoboku, • oblicza pole trójkąta przy danym boku i odpowiadającej mu wysokości, • odczytuje liczby całkowite z osi liczbowej, • zaznacza na osi liczbowej podane liczby całkowite, • rozróżnia i wskazuje elementy brył: krawędzie, wierzchołki, ściany boczne, podstawy, • rozróżnia graniastosłupy i ostrosłupy w otoczeniu oraz na rysunkach, • zna podstawowe jednostki objętości, • oblicza objętości brył zbudowanych z sześcianów jednostkowych, • oblicza objętość prostopadłościanu złożonego z sześcianów jednostkowych. b) Wymagania podstawowe (na ocenę dostateczną) obejmują wiadomości stosunkowo łatwe do opanowania, przydatne w życiu codziennym, bez których nie jest możliwe kontynuowanie dalszej nauki. Uczeń (oprócz spełnienia wymagań koniecznych): • zaznacza na osi liczbowej punkty spełniające określone warunki, • zna i rozumie istotę zapisu dziesiętnego i pozycyjnego, • potrafi stosować skróty w zapisie liczb naturalnych (np. 3 tys.; 1,54 mln), • odczytuje liczby zapisane cyframi rzymskimi, • zapisuje wiek na podstawie podanego roku, • zna i stosuje w obliczeniach przemienność i łączność dodawania oraz mnożenia, • stosuje rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania przy mnożeniu liczb dwucyfrowych przez liczby jednocyfrowe, • mnoży liczby zakończone zerami, pomijając zera przy mnożeniu i dopisując je w wyniku, • dzieli liczby zakończone zerami, pomijając taką samą liczbę zer na końcu w dzielnej i dzielniku, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych, • zapisuje potęgi w postaci iloczynu, • zapisuje iloczyn tych samych czynników w postaci potęgi, • oblicza potęgi liczb, także z wykorzystaniem kalkulatora, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem potęgowania, • oblicza wartość trzydziałaniowego wyrażenia arytmetycznego, zawierającego również nawiasy, • dopasowuje zapis rozwiązania do treści zadania tekstowego, • szacuje wynik pojedynczego działania dodawania lub odejmowania przez stosowanie zaokrągleń liczb, • stosuje szacowanie w sytuacjach praktycznych, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania pisemnego, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem mnożenia pisemnego, • zna i stosuje cechy podzielności przez 3 i 9, 43 • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem dzielenia z resztą i interpretuje wynik działania stosownie do treści zadania, • wskazuje w zbiorze liczb liczby złożone na podstawie cech podzielności przez 2, 3, 5, 10, • zapisuje liczbę dwucyfrową w postaci iloczynu czynników pierwszych, • znajduje brakujący czynnik w iloczynie oraz dzielnik lub dzielną w ilorazie, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem dzielenia pisemnego, • rozwiązuje typowe zadania dotyczące punktów, odcinków, półprostych i prostych, • wskazuje odcinki przystające, • znajduje odległość między dwoma punktami, • rozumie definicję koła i okręgu, • stosuje znane własności koła i okręgu do rozwiązywania prostych zadań geometrycznych, • rozpoznaje, wskazuje i rysuje kąty pełne, półpełne, wklęsłe i wypukłe, • rozpoznaje kąty wierzchołkowe, przyległe i dopełniające do 360˚, • rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem różnych rodzajów kątów, • szacuje miary kątów przedstawionych na rysunku, • rysuje kąty o danej mierze, mniejszej niż 180˚, • rozwiązuje elementarne zadania rysunkowe dotyczące obliczania miar kątów, • oblicza wymiary figur geometrycznych i obiektów w skali, • stosuje nierówność trójkąta, • rozwiązuje typowe zadania dotyczące obliczania miar kątów w trójkącie, stosując twierdzenie o sumie ich miar, • oblicza obwód trójkąta, mając dane zależności między jego bokami, • wskazuje różne rodzaje trójkątów jako części innych wielokątów, • rysuje różne rodzaje trójkątów, • rysuje za pomocą ekierki wysokości w trójkącie ostrokątnym i prostokątnym, • rozwiązuje elementarne zadania z zastosowaniem wysokości trójkąta, • rysuje kwadrat o danym obwodzie oraz prostokąt o danym obwodzie i danym jednym boku, • oblicza miary kątów w równoległoboku, • oblicza długość boku rombu przy danym obwodzie, • rysuje równoległobok przy danym boku i danej wysokości prostopadłej do tego boku, • rozpoznaje rodzaje trapezów, • rysuje trapezy przy danych długościach podstawi wysokości, • oblicza długości brakujących odcinków w trapezie, • wskazuje poznane czworokąty jako części innych figur, • wykorzystuje twierdzenie o sumie miar kątów w czworokącie do obliczania brakujących miar kątów w czworokącie, • zapisuje w postaci ułamków rozwiązania elementarnych zadań tekstowych, • doprowadza ułamki właściwe do postaci nieskracalnej, a ułamki niewłaściwe i liczby mieszane do najprostszej postaci, • porównuje ułamki o takich samych licznikach, • rozszerza ułamki do wskazanego licznika, 44 • znajduje licznik lub mianownik ułamka równego danemu po skróceniu lub rozszerzeniu, • sprowadza ułamki do wspólnego mianownika, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o jednakowych mianownikach, • dodaje i odejmuje ułamki lub liczby mieszane o różnych mianownikach, • rozwiązuje elementarne zadania z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, • oblicza ułamek liczby naturalnej, • mnoży liczby mieszane, stosując skracanie, • rozwiązuje elementarne zadania z zastosowaniem mnożenia ułamków i liczb mieszanych, • dzieli liczby mieszane, stosując skracanie, • rozwiązuje elementarne zadania z zastosowaniem dzielenia ułamków, • oblicza wartości dwudziałaniowych wyrażeń na ułamkach zwykłych, stosując ułatwienia – przemienność i skracanie, • zapisuje cyframi ułamki dziesiętne zapisane słownie, • zaznacza ułamki dziesiętne na osi liczbowej, • porównuje ułamki dziesiętne, • zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne skończone, • dodaje i odejmuje ułamki dziesiętne w pamięci, • znajduje dopełnienie ułamka dziesiętnego do pełnych całości, • oblicza składnik sumy w dodawaniu oraz odjemną lub odjemnik w odejmowaniu ułamków dziesiętnych, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z dodawaniem i odejmowaniem ułamków dziesiętnych, • odczytuje z osi liczbowej brakujące ułamki dziesiętne, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem mnożenia ułamków dziesiętnych, • dzieli w pamięci ułamki dziesiętne przez liczbę naturalną, • dzieli pisemnie ułamki dziesiętne przez liczbę naturalną, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem dzielenia ułamków dziesiętnych i porównywania ilorazowego, • zamienia jednostki zapisane za pomocą ułamka dziesiętnego na jednostki mieszane lub mniejsze jednostki, • wykonuje działania na ułamkach dziesiętnych, posługując się kalkulatorem, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem jednostek, np.: koszt zakupu przy danej cenie za kilogram lub metr, • przelicza jednostki masy, długości i czasu, • oblicza upływ czasu między wskazaniami zegara z przekroczeniem godziny, • rozwiązuje elementarne zadania dotyczące czasu z wykorzystaniem informacji podanych w tabelach, na diagramach i w kalendarzu, • rozwiązuje elementarne zadania z wykorzystaniem informacji podanych w tabelach, na rysunkach, 45 diagramach, mapach i planach, • oblicza rzeczywistą odległość na podstawie mapy ze skalą mianowaną, • oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb naturalnych, • rozwiązuje zadania tekstowe polegające na obliczeniu średniej arytmetycznej, • określa, jaki procent figury zamalowano, • oblicza 1%, 10%, 25%, 50%, 75% i 100% liczby naturalnej, • zamienia procent na ułamek w prostych wypadkach, • oblicza procent liczby z wykorzystaniem kalkulatora, • redukuje jednomiany podobne znajdujące się po jednej stronie równania, • oblicza wartości liczbowe prostych wyrażeń algebraicznych, • sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania, • rozwiązuje równania typu 2 · x + 3 = 7, • na płaszczyźnie z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych odczytuje i zaznacza punkty o danych współrzędnych całkowitych, • oblicza pola figur znajdujących się na kratownicy, • wykorzystuje pole prostokąta do obliczania pól innych figur, • mierzy przedmioty w kształcie prostokąta i oblicza ich pole, • oblicza pole i obwód prostokąta przy danym jednym boku i zależności (ilorazowej lub różnicowej) drugiego boku, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem pola prostokąta, • oblicza pole równoległoboku i rombu narysowanych na papierze w kratkę z możliwością odczytania potrzebnych wymiarów, • oblicza pole i obwód równoległoboku na podstawie danych długości boków i wysokości, • zna i stosuje wzór na obliczanie pola rombu z wykorzystaniem długości przekątnych, • rozwiązuje elementarne zadania z zastosowaniem pól równoległoboku i rombu, • zna i stosuje wzór na obliczanie pola trójkąta, • oblicza pole trójkąta umieszczonego na kratownicy z możliwością odczytania potrzebnych długości, • oblicza pole trójkąta prostokątnego o danych przyprostokątnych, • zna i stosuje wzór na obliczanie pola trapezu, • oblicza pole trapezu umieszczonego na kratownicy z możliwością odczytania potrzebnych długości, • wyznacza liczby przeciwne do danych, • porównuje liczby całkowite, • rozwiązuje zadania na podstawie danych przedstawionych w tabeli, na mapie pogody, • dodaje liczby całkowite jedno- i dwucyfrowe, • określa znak sumy dwóch liczb całkowitych wielocyfrowych, • oblicza za pomocą osi liczbowej różnicę między liczbami całkowitymi, • oblicza różnicę między wartościami temperatury wyrażonej za pomocą liczb całkowitych, • wykonuje proste działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb całkowitych, • rysuje rzuty graniastosłupów i ostrosłupów, • dobiera jednostkę do pomiaru objętości danego przedmiotu, 46 • oblicza objętość prostopadłościanu i sześcianu jako iloczyn długości krawędzi, • rozumie pojęcie siatki prostopadłościanu, • rysuje siatkę sześcianu o podanej długości krawędzi. c) Wymagania rozszerzające (na ocenę dobrą) obejmują wiadomości i umiejętności o średnim stopniu trudności, które są przydatne na kolejnych poziomach kształcenia. Uczeń (oprócz spełniania wymagań koniecznych i podstawowych): • stosuje rozdzielność mnożenia i dzielenia względem dodawania i odejmowania przy mnożeniu i dzieleniu liczb wielocyfrowych przez jednocyfrowe, • zapisuje liczbę postaci podaną z 10n bez użycia potęgowania, • wyznacza liczbę naturalną, znając jej kwadrat, np. 25, 49, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem potęgowania, • zapisuje wyrażenia arytmetyczne do prostych treści zadaniowych, • dopisuje treść zadania do prostego wyrażenia arytmetycznego, • zapisuje rozwiązanie zadania tekstowego w postaci jednego wyrażenia kilkudziałaniowego, • dodaje i odejmuje pisemnie liczby wielocyfrowe, • zna pojęcie wielokrotności liczb, • zna pojęcia liczby pierwszej i liczby złożonej, • zapisuje liczbę w postaci iloczynu czynników pierwszych, • dzieli pisemnie liczby wielocyfrowe przez liczby dwucyfrowe, • znajduje i mierzy odległość punktu od prostej i odległość między prostymi równoległymi, • rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe z wykorzystaniem własności koła i okręgu, • rozwiązuje zadania związane z mierzeniem kątów, • wskazuje kąty równe, które powstaną, gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, • rozwiązuje typowe zadania dotyczące obliczania miar kątów, • rozumie pojęcie kątów przystających, • oblicza miary kątów w trójkącie na podstawie podanych zależności między kątami, • wskazuje osie symetrii trójkąta, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem własności trójkątów, • zna własności równoległoboku, rombu, trapezu, deltoidu i potrafi narysować ich wszystkie wysokości, • rozwiązuje zadania związane z rysowaniem, mierzeniem i obliczaniem długości odpowiednich odcinków w równoległobokach, • rysuje trapez o danych długościach boków i danych kątach, • potrafi klasyfikować czworokąty, • podaje przykłady wielokątów foremnych i określa ich własności, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem obliczania ułamka liczby, • wskazuje w zbiorze ułamków ułamki nieskracalne przy wykorzystaniu cech podzielności, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach, 47 • porównuje ułamki o różnych mianownikach, • oblicza składnik w sumie lub odjemnik w różnicy ułamków o różnych mianownikach, • rozwiązuje typowe zadania z zastosowaniem dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach oraz porównywania różnicowego, • oblicza ułamek liczby mieszanej i ułamek ułamka, • oblicza brakujący czynnik w iloczynie, • mnoży liczby mieszane i doprowadza wynik do najprostszej postaci, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem odwrotności liczb, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem dzielenia liczb mieszanych, • oblicza wartości wyrażeń zawierających trzy i więcej działań na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych, • porównuje ułamki dziesiętne ze zwykłymi o mianownikach 2, 4 lub 5, • zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne nieskończone okresowe, • oblicza wartości dwudziałaniowych wyrażeń zawierających dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych, • zapisuje i odczytuje duże liczby za pomocą skrótów, np. 2,5 tys., • zaokrągla ułamki dziesiętne z określoną dokładnością, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem działań na ułamkach dziesiętnych, • oblicza dzielną lub dzielnik przy danym ilorazie, • potrafi posługiwać się kalkulatorem, wykorzystując funkcję pamięci, • wyraża w jednej jednostce sumę wielkości podanych w różnych jednostkach, • porównuje wielkości podane w różnych jednostkach, • zamienia jednostki długości i masy z wykorzystaniem liczb dziesiętnych, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe dotyczące czasu z wykorzystaniem informacji podanych w tabelach i kalendarzu, • rozwiązuje zadania z wykorzystaniem danych zapisanych w różnych źródłach, • oblicza, ile towaru można kupić za określoną kwotę przy podanej cenie jednostkowej, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem porównywania różnicowego i ilorazowego na podstawie danych z tabel, • wykonuje obliczenia na podstawie planów i map, • oblicza rzeczywiste wymiary obiektów, znając ich wymiary w podanej skali, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem średniej arytmetycznej, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z zastosowaniem porównywania wielkości procentowych, • rozumie pojęcie procentu jako ułamka całości, • oblicza w prostych wypadkach, jakim procentem całości jest dana wielkość, • zamienia procent na ułamek dziesiętny, a następnie ułamek dziesiętny na ułamek zwykły nieskracalny, • zapisuje ułamek dziesiętny i ułamek zwykły o mianowniku 100 w postaci procentu, 48 • wykonuje obliczenia dotyczące porównywania ilorazowego i różnicowego, z wykorzystaniem danych z diagramów, • przedstawia dane na diagramach, • rozwiązuje równania typu 5 · x – 1 = 3 · x + 7, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem zależności między prędkością, drogą i czasem w ruchu jednostajnym, • na płaszczyźnie z narysowanym kartezjańskim układem współrzędnych zaznacza punkty, których współrzędne spełniają określone warunki, • rozwiązuje typowe zadania tekstowe z zastosowaniem pola prostokąta, • podaje możliwe wymiary prostokąta o danym polu, • oblicza wysokość równoległoboku przy danym polu i długości boku, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem pól i obwodów równoległoboku, rombu oraz deltoidu, • rozwiązuje zadania z praktycznym wykorzystaniem pola trójkąta, • oblicza pola figur umieszczonych na kratownicy, które dadzą się podzielić na prostokąty, równoległoboki i trójkąty, • oblicza pole trapezu przy podanej zależności między jego bokami a wysokością, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem pola trapezu, • oblicza pole wielokąta umieszczonego na kratownicy, który da się podzielić na trapezy o łatwych do obliczenia polach, • wyraża pole powierzchni figury o wymiarach danych w różnych jednostkach, • rozwiązuje elementarne zadania tekstowe z wykorzystaniem jednostek pola, • porządkuje liczby w zbiorze liczb całkowitych, • oblicza temperaturę po spadku o podaną liczbę stopni, • oblicza wartość bezwzględną liczby, • rozwiązuje elementarne zadania z zastosowaniem dodawania i odejmowania liczb całkowitych, • wskazuje liczbę całkowitą różniącą się od danej liczby o podaną liczbę naturalną, • mnoży i dzieli liczby całkowite, • oblicza wartości wyrażeń złożonych z dwóch lub trzech działań na liczbach całkowitych, • podaje przykłady brył o danej liczbie wierzchołków, • podaje przykłady brył, których ściany spełniają dany warunek, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem objętości prostopadłościanu i sześcianu, • rysuje siatkę prostopadłościanu o danych długościach krawędzi, • dobiera siatkę do modelu prostopadłościanu, • ocenia, czy rysunek przedstawia siatkę prostopadłościanu, • oblicza objętość prostopadłościanu, korzystając z jego siatki, • nazywa graniastosłupy na podstawie siatek, • rysuje siatkę graniastosłupa przy podanym kształcie podstawy i podanych długościach krawędzi, • dobiera siatkę do modelu graniastosłupa. d) Wymagania dopełniające (na ocenę bardzo dobrą) obejmują wiadomości i umiejętności złożone, 49 o wyższym stopniu trudności, wykorzystywane do rozwiązywania zadań problemowych. Uczeń (oprócz spełniania wymagań koniecznych, podstawowych i rozszerzających): • rozwiązuje zadania z zastosowaniem potęgowania, • oblicza wartości wielodziałaniowych wyrażeń arytmetycznych (także z potęgowaniem), stosuje odpowiednią kolejność działań, • zapisuje rozwiązanie zadania tekstowego z zastosowaniem porównania różnicowego i ilorazowego w postaci jednego kilkudziałaniowego wyrażenia, • uzupełnia nawiasami wyrażenie arytmetyczne tak, aby dawało podany wynik, • szacuje wynik wyrażenia zawierającego więcej niż jedno działanie, • rozszyfrowuje cyfry ukryte pod literami w liczbach, w działaniu dodawania pisemnego, • rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe z zastosowaniem dodawania i odejmowania pisemnego, • rozszyfrowuje cyfry ukryte pod literami w działaniu mnożenia pisemnego, • rozwiązuje nietypowe zadania tekstowe z zastosowaniem mnożenia pisemnego, • rozwiązuje nietypowe zadania z zastosowaniem cech podzielności i wielokrotności liczb, • rozkłada na czynniki pierwsze liczby wielocyfrowe, • rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem cech podzielności, dzielenia pisemnego oraz porównywania ilorazowego, • rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące prostej, półprostej i odcinka na płaszczyźnie, • wskazuje różne rodzaje kątów na bardziej złożonych rysunkach, • oblicza miary kątów przedstawionych na rysunku (trudne przykłady), • oblicza miary kątów między wskazówkami zegara o określonej godzinie, • rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące rodzajów i własności trójkątów, • rysuje romb za pomocą cyrkla i linijki, • rysuje równoległobok przy danych przekątnych i zawartym między nimi kącie, • rozwiązuje zadania z zastosowaniem własności czworokątów, • porównuje ułamki, wykorzystując relacje między ułamkami o tych samych • porównuje ułamki, wykorzystując relacje między ułamkami o tych samych 1. Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej l i przechodzacej przez punkt P. a) l: y= -3x+1, P(3,-2) b) l: y= 2/3x - 3, P(4,1)c) l:y=-4/3x+11, P(-4,-2)d) l:y=3 i 1/2x-3, P(14,-4) 2. Wyznacz równania prostych ; AB, AC i BC. Czy trojkat ABC jest prostokatny ? a)A(1,5), B(4,2), C(7,5) b) A(-2,-1), B(0,-3), C(4,5) c) A(-7,-2), B(8,-2), C(-2,3)3. Punkty A, B, C i D sa kolejnymi wierzchołkami rombu. Wyznacz rownania prostych w ktorych sa zawarte przkatne tego romu. a) A(-2,-6), B(5,-3), C(8,4)b) A(-1,-2), B(6,-1), D(-6,3) Answer Scenariusz zajęć z zakresu edukacji matematycznej w klasie III eProwadzący: mgr Katarzyna ZdziebłowskaKrąg tematyczny: Działania na Dodawanie i odejmowanie liczb dwucyfrowych w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowegoTermin realizacji: główny: • doskonalenie dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego;• utrwalenie wiadomości na temat liczb dwucyfrowych;• kształtowanie właściwych postaw w sytuacji zwycięstwa i szczegółowe. Uczeń potrafi:- udzielać odpowiedzi na pytania( zgodnie współpracować z innymi w zabawie i w nauce ( dodawać i odejmować w zakresie 100 ( zna pojęcia „suma’ i „różnica” ( utworzyć liczby według podanych warunków ( wskazać liczbę dziesiątek i jedności w liczbach dwucyfrowych ( stosować poznane i własne strategie dodawania i odejmowania liczb dwucyfrowych( dostosować się do zasad i właściwie zachować w sytuacji zwycięstwa i przegranej( przestrzega reguł i zasad obowiązujących w zabawie, współpracuje w sytuacji zadaniowej i grzecznie zwraca się do innych ( - podająca: wyjaśnianie;- działań praktycznych: gry i zabawy dydaktyczne;- pracy: - zbiorowa;- grupowa, w parachŚrodki dydaktyczne: krążki z działaniami –matematyczny „naleśnik”, łopatka kuchenna, karty do gry (bez 10), żetony, kartoniki z cyframi, kartka, długopis, dwa kółka dla każdego ucznia - 1czerwone i 1 zielonePrzebieg zajęć1. Powitanie. 2. Zapoznanie uczniów z celami zajęć: - Na dzisiejszych zajęciach będziemy doskonalić dodawanie i odejmowanie poznanymi sposobami podczas zabawy i gier matematycznych. Bawiąc się będziecie równocześnie doskonalić swoje umiejętności matematyczne i współpracę z kolegami/ Zabawa „matematyczne naleśniki” - na krążkach napisane są działania na:dodawanie, odejmowanie . Odwrotna strona „naleśnika” to wynik działania (kolor – wyznacza stopień trudności: czerwone – najtrudniejsze, żółte – średnie, niebieskie łatwe). Uczniowie nabierają „naleśnik” na łopatkę i podają wynik – sprawdzają samodzielnie przez odwrócenie „naleśnika” na drugą stronę. Za poprawnie wykonane obliczenie zbierają żetony - punkty. Wygrywa ta osoba z grupy, która zbierze więcej żetonów. Dalszy ciąg zabawy to układanie wyników rosnąco lub malejąco i utworzenie hasła „Matematyczne gry i zabawy to wesoła i świetna rozrywka”4. Poszukaj swojej pary – uczniowie otrzymują kartoniki z cyframi i tworzą pary według podanego warunku. Nauczyciel zwraca uwagę, że może być taka, iż nie wszyscy będą mieli parę. Np.: dobierzcie się w pary tak, by liczba dwucyfrowa którą utworzycie:- była parzysta; - była nieparzystą;- maiła cyfrę dziesiątek większa od cyfry jedności;- maiła cyfrę jedności większa od cyfry dziesiątek;- miała cyfrę jedności o 1 mniejszą niż cyfra dziesiątek;- miała cyfrę dziesiątek o 3 większą niż cyfra jedności;- by suma obu cyfr była równa: 5, 7 itp.;- by różnica obu cyfr była równa: np. 2, podają utworzone cyfry, kontrolują poprawność wykonywanego Plus dla ciebie – gra w parach. Każde dziecko losuje po 4 karty z zestawu i układa dwie takie liczby dwucyfrowe, aby suma lub różnica (według instrukcji nauczyciela) była jak najbliższa100. Osoba, której poprawny wynik będzie bliższy 100 zbiera karty. Uczniowie mogą wykonywać obliczenia na kartkach dowolnym, poznanym Zabawa prawda/ fałsz – nauczyciel podaje zdania, a zadaniem uczniów jest ocenić ich poprawność poprze podniesienie odpowiedniego koloru kółka: zielony – prawda, czerwony – stwierdzeń do oceny poprawności przez uczniów:Liczby w dodawaniu to 46 ma 6 liczbą dwucyfrową jest cyfr 25 i 14 wynosi odejmowania to liczb 98 i 44 to 100 jest liczbą 70 jest liczbą dodawania to Podsumowanie i ocena pracy.• Które zadanie podobało wam się najbardziej?• Co ćwiczyliśmy podczas tych zabaw? Jakie umiejętności? • Czy matematyka może być rozrywką? KATALOG WYMAGAŃ DO DZIAŁU „CIĄGI”(KLASA II LO i Technikum)(zakres podstawowy i rozszerzony)CZYNNOŚCI UCZNIA:WYMAGANIA NA OCENĘ: DOPUSZCZAJĄCĄ (KONIECZNE):1. Zna definicję ciągu liczbowego. (A)2. Definiuje ciąg rosnący, malejący, stały. (A)3. Podaje przykłady (wypisuje kolejne wyrazy; słownie):ciągu liczbowego (nieskończonego; skończonego), ciągu rosnącego, malejącego, stałego, niemonotonicznego. (B)4. Rozpoznaje, na podstawie wykresu ciągu jego monotoniczność. (A)5. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu określonego wzorem ogólnym (proste przykłady). (C)6. Rysuje wykres ciągu (rosnącego, malejącego, stałego, arytmetycznego, geometrycznego,naprzemiennego, zbieżnego) na podstawie wzoru ogólnego ciągu albo przez podanie własnego przykładu ciągu.(C)7. Odczytuje z wykresu własności ciągu. (B)8. Oblicza kolejne i dowolne wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. (C)9. Wyznacza wyrazy ciągu opisanego słownie. (C) definicję ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (A) czy ciąg o danych wyrazach jest arytmetyczny (geometryczny). (C) przykłady ciągu: arytmetycznego i geometrycznego (wypisuje kolejne wyrazy, rysuje wykres, opisuje słownie). (B) wyrazy ciągu arytmetycznego, znając pierwszy wyraz (a1) i różnicę (r). (C) wyrazy ciągu geometrycznego, znając pierwszy wyraz (a1) i iloraz (q). (C) wzór na n–ty wyraz (an) ciągu arytmetycznego (geometrycznego).(A) n–ty wyraz ciągu arytmetycznego (geometrycznego), znając a1 i r (a1 i q). (C) wzór na sumę częściową Sn ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (A) sumę częściową Sn ciągu arytmetycznego (geometrycznego.(C) dla jakiego r ciąg arytmetyczny jest rosnący, malejący, stały. (A) takie a1 i r, aby ciąg arytmetyczny był rosnący,malejący, stały. (B) a1,r,n lub an (a1,q,n lub an) mając dane trzy z nich.(C) proste zadania, w których zauważa, że dane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny (geometryczny). (C) procent prosty i składany w prostych zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów (np.: rozumie ideę funkcjonowania banku, oblicza zysk z lokaty przy rocznej kapitalizacji odsetek i danej, stałej stopie procentowej). (C)24.*Rozumie pojęcie ciągu zbieżnego do zera. (B)25.*Wie, kiedy ciąg geometryczny jest zbieżny do zera. (A)26.*Podaje przykład ciągu zbieżnego do zera. (B)27.*Odczytuje z rysunku granice ciągów (proste przykłady). (B)28.*Oblicza granice ciągów: właściwe i niewłaściwe (proste przykłady). (C) pojęcie ułamka dziesiętnego okresowego. (A)30.*Zna wzór na sumę szeregu geometrycznego. (A)31.*Oblicza sumę szeregu geometrycznego. (C)WYMAGANIA NA OCENĘ DOSTATECZNĄ (PODSTAWOWE):1. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu określonego wzorem ogólnym albo słownie. (C)2. Określa ciąg (ogólnym wyrazem lub słownie), mając dane kolejne początkowe wyrazy ciągu. (C)3. Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an, są równe danej liczbie (rozwiązuje odpowiednie równanie). (C)4. Określa własności zadanego ciągu. (C)5. Sprawdza, czy ciąg o danych wyrazach jest arytmetyczny (geometryczny). (C)6. Bada, na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny (geometryczny). (C)7. Wyznacza a1 i r (a1 i q) znając dwa dowolne wyrazy ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)8. Rozpoznaje ciągi geometryczne na podstawie wzoru. (A)9. Wie dla jakich a1 i q ciąg geometryczny jest rosnący, malejący, stały, naprzemienny. (A) takie a1 i q, aby ciąg geometryczny był rosnący, malejący, stały. (B) wyraz środkowy ciągu arytmetycznego (geometrycznego), wykorzystując średnią arytmetyczną (geometryczną). (C) a1,r,n,an,Sn (a1,q,n,an,Sn) mając dane trzy z nich. (C) proste zadania dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, (C)np.:a) oblicza sumę liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez daną liczbę dają odpowiednią resztę,b) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych nieparzystych dwucyfrowych,c) oblicza sumę danych liczb naturalnych nieparzystych nie większych od 10000,d) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych,e) oblicza sumę wszystkich naturalnych potęg liczby 2 mniejszych od Rozwiązuje proste zadania tekstowe z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C)15. Rozwiązuje zadania z życia codziennego, w których zauważa, że dane wielkości tworzą ciąg arytmetyczny (geometryczny). (C)16. Stosuje procent prosty i składany w zadaniach dotyczących oprocentowania lokat i kredytów (oblicza np.: zyski z lokaty na podstawie informacji o oprocentowaniu i okresach kapitalizacji odsetek; liczbę lat oszczędzania; wkład początkowy). (C)17.*Rozumie intuicyjnie pojęcie granicy skończonej ciągu (pojęcie ciągu zbieżnego). (B)18.*Ilustruje graficznie pojęcie granicy skończonej ciągu. (B)19.*Przedstawia interpretację geometryczną ciągu dążącego do ∞ (-∞). (B)20.*Zna twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych. (A)21.*Stosuje twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych. (C)22.*Oblicza granice ciągów: właściwe i niewłaściwe (proste przykłady). (C)23.*Odróżnia ciąg geometryczny od szeregu geometrycznego. (B)24.*Zna warunek istnienia sumy nieskończonego ciągu geometrycznego (warunek zbieżności szeregu geometrycznego). (A)25.*Wyznacza warunek zbieżności szeregu geometrycznego (rozwiązuje prostą nierówność z wartością bezwzględną). (C)26.*Stosuje pojęcie szeregu geometrycznego do zamiany ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły. (C)27.*Oblicza wielkości S,a1 lub q mając dane dwie z nich. (C) proste równania i nierówności, w których: (C)a) lewa strona jest sumą skończonego ciągu arytmetycznego,b)*lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu NA OCENĘ DOBRĄ (ROZSZERZAJĄCE):1. Wyznacza wzór ogólny ciągu, mając dane kolejne początkowe wyrazy ciągu. (C)2.*Oblicza kolejne wyrazy ciągu na podstawie wzoru rekurencyjnego. (C)3.*Znajduje wzór ogólny ciągu rekurencyjnego (proste przykłady).(C)4. Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu (liczbowego, arytmetycznego, geometrycznego) określonego wzorem ogólnym (trudniejsze przykłady). (C)5. Sprawdza monotoniczność ciągu przez badanie ilorazu an+1/an. (C)6. Bada własności ciągu. (C)7. Definiuje ciąg nierosnący, niemalejący. (A)8. Rozumie pojęcie ciągu nierosnącego, niemalejącego. (B)9. Bada, które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an są mniejsze (większe, itp.) od danej liczby (rozwiązuje odpowiednią nierówność). (C) które wyrazy ciągu należą do danego przedziału. (C) które wyrazy ciągu, określonego wzorem ogólnym an, są liczbami naturalnymi (całkowitymi) i wyznacza te wyrazy. (C) wzór na an, mając dany wzór na Sn dowolnego ciągu. (C) wzorem definicję ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (B) na podstawie definicji, czy ciąg o wyrazie ogólnym an jest arytmetyczny (geometryczny). (C) wzór na an w ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D) zadania dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego, (C)np.:a) oblicza sumę liczb naturalnych trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez daną liczbę dają odpowiednią resztę,b) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych,c) oblicza sumę wszystkich liczb naturalnych trudniejsze zadania tekstowe z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego). (C) ciągi arytmetyczne i geometryczne w otaczającej rzeczywistości. (D) ciąg arytmetyczny (geometryczny) na podstawie podanych danych. (C)20.*Rozumie pojęcie granicy skończonej ciągu (pojęcie ciągu zbieżnego). (B)21.*Rozumie pojęcie ciągu rozbieżnego. (B)22.*Oblicza granice ciągów (właściwe i niewłaściwe), stosując odpowiednie twierdzenia o granicach ciągów. (C)23.*Bada warunek istnienia sumy szeregu geometrycznego (rozwiązuje odpowiednią nierówność). (C) równania i nierówności, w których: (C)a) lewa strona jest sumą skończoną ciągu arytmetycznego,b)*lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu monotoniczność ciągu arytmetycznego (geometrycznego).(D)26.*Odkrywa warunek zbieżności szeregu geometrycznego. (D) czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D) zadania stosując wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (geometrycznego), również umieszczone w kontekście praktycznym. (C) zadania łączące wiadomości o ciągach: arytmetycznym i geometrycznym. (C) wiadomości o ciągach w zadaniach geometrycznych. (D) trudniejsze zadania dotyczące procentu składanego (np.: oblicza wysokość oprocentowania lokaty w skali roku przy danej kapitalizacji odsetek; wysokość raty kredytu, łączną wartość odsetek od tego kredytu; porównuje zyski z lokat). (C)WYMAGANIA NA OCENĘ BARDZO DOBRĄ (DOPEŁNIAJĄCE):1. Określa ciąg rekurencyjnie. (C)2. Wyznacza wyraz ogólny ciągu, mając dane kolejne początkowe wyrazy tego ciągu, *opis rekurencyjny ciągu albo wykres ciągu. (C)3.*Bada, na podstawie definicji, monotoniczność ciągu. (C)4.*Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D)5. Podaje przykład ciągu spełniającego zadane warunki. (D)6. Znajduje wzór ciągu arytmetycznego (geometrycznego) na podstawie podanych informacji. (C)7. Rozwiązuje zadania tekstowe łączące jednocześnie wiadomości o ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)8. Stosuje wiadomości o ciągach w zadaniach geometrycznych. (D)9. Korzystając z własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego), bada zjawiska opisane przez taki ciąg. (D) wzór na Sn w ciągu arytmetycznym i geometrycznym. (D)11.*Zna definicję granicy skończonej ciągu. (A)12.*Zna definicję granicy niewłaściwej ciągu. (A)13.*Zapisuje symbolicznie (kwantyfikatorowo) definicję granicy ciągu (zbieżnego i rozbieżnego do ∞ (-∞)). (A)14.*Podaje przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych (podając wzór ogólny). (B)15.*Przytacza twierdzenia pozwalające obliczać granice ciągów. (A)16.*Dowodzi twierdzenia o granicach ciągów. (D)17.*Oblicza trudniejsze granice ciągów (np. z zastosowaniem wzorów na sumę częściową ciągu arytmetycznego lub geometrycznego). (C)18.*Bada istnienie granicy ciągu (właściwej, niewłaściwej) w zależności od wartości parametru (i oblicza tę granicę). (D)19.*Definiuje szereg geometryczny. (A)20.*Stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego w zadaniach geometrycznych i innych. (C) trudniejsze zadania dotyczące procentu składanego (np.: oblicza wysokości rat malejących; porównuje różne sposoby spłacania kredytu); dostrzega związek wzoru na procent składany z ciągiem geometrycznym. (C) różne zadania z parametrem z ciągów. (D)WYMAGANIA NA OCENĘ CELUJĄCĄ (WYKRACZAJĄCE):1. Bada monotoniczność ciągu rekurencyjnego. (C)2. Bada zbieżność ciągu rekurencyjnego. (C)3. Zna twierdzenie o trzech ciągach do obliczenia granicy danego ciągu. (A)4. Rozumie twierdzenie o trzech ciągach. (B)5. Oblicza granice ciągów stosując twierdzenie o trzech ciągach.(C)6. Zna definicję liczby e. (A)7. Wyznacza liczbę e jako granicę ciągu. (D)8. Oblicza granice ciągów korzystając z definicji liczby e. (C)9.*Rozstrzyga, czy istnieją ciągi spełniające zadane warunki. (D) na podstawie definicji granicy ciągu, że dana liczba jest granicą ciągu. (D) z definicji, że ciąg jest rozbieżny do ∞ (-∞). (D) zadania na dowodzenie dotyczące ciągów. (D)Uwaga: gwiazdką (*) wyróżniono badane czynności z zakresu rozszerzonego.

dane są warunki dotyczące liczb dwucyfrowych